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Exercice

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Le sujet


La figure ci- après représente un cube ABCDEFGH d'arête 1 . On désigne par I et J les milieux respectifs des
arêtes [BC] et [CD] . Soit M un point quelconque du segment [CE].
Dans tout l'exercice, on se place dans le repère orthonormal ${(A;\overrightarrow{{\mathit{AB}}},\overrightarrow{{\mathit{AD}}},\overrightarrow{{\mathit{AE}}}).}$
  • 1.
    • a. Donner, sans justification, les coordonnées des points C , E, I, et J .
    • b. Justifier l'existence d'un réel t appartenant à l' intervalle [0 ; 1] , tel que les coordonnées du point M soient
      (1 - t ; 1 - t ; t) .
  • 2.
    • a. Démontrer que les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [ I J] .
    • b. En déduire que le triangle MIJ est un triangle isocèle en M .
    • c. Exprimer I M$^2$ en fonction de t .
  • 3. Le but de cette question est de déterminer la position du point M sur le segment [CE] pour laquelle la mesure
    de l'angle ${\widehat {{IMJ}}}$ est maximale .
    On désigne par $\alpha $ la mesure en radian de l'angle ${\widehat {{IMJ}}.}$
    • a. En admettant que la mesure $\alpha $ appartient à l'intervalle [0 ; $\pi $] , démontrer que la mesure $\alpha $ est maximale lorsque sin ${\left(\frac{\alpha }{2}\right)}$ est maximal .
    • b. En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur I M est minimale .
    • c. Etudier les variations de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : ${f(t)=3t^{2}-t+\frac{1}{4}.}$
    • d. En déduire qu'il existe une unique position M$_0$ du point M sur le segment [EC] telle que la mesure de l'angle ${\widehat {{IMJ}}}$ soit maximale .
    • e. Démontrer que le point M$_0$ est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC] .

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