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Le sujet

  • EXERCICE 2

    Candidats ayant choisi la spécialité
    • 1. Candidats ayant choisi la spécialité Alice participe à une compétition de tir à l’arc ; elle effectue plusieurs lancers de flèches. Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,9.
      Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu’elle atteigne
      la cible au lancer suivant est égale à 0,4.
      On suppose qu’au premier lancer, elle a autant de chances d’atteindre la cible que de lamanquer. Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on note :
      a$_n$ la probabilité qu’Alice atteigne la cible au n-ième lancer ;
      b$_n$ la probabilité qu’Alicemanque la cible au n-ième lancer ;
      P$_n$ = (a$_n$ b$_n$) lamatrice ligne traduisant l’état probabiliste au n-ième lancer.
      • 1.
        • a.Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l’état « Alice atteint la cible » et B l’état « Alice manque sa cible »).
        • b. Indiquer la matrice de transition M associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l’ordre (A, B).
        • c. Justifier que P$_1$ = (0,5 0,5) et P$_2$ = (0,65 0,35).
      • 2.
        • a.Montrer que, pour tout nombre entier n strictement positif, a$_{n+1}$ = 0,9a$_n$ +0,4b$_n$.
        • b.En déduire que, pour tout nombre entier n strictement positif, a$_{n+1}$ = 0,5a$_n$ +0,4.
      • 3.
        • a.Compléter l’algorithme fourni en annexe 1 de façon à ce qu’il affiche l’état probabiliste au n-ième lancer.
        • b.Déterminer l’affichage de cet algorithme pour n = 5.
      • 4.
        • a.On considère la suite (un) définie pour tout nombre entier naturel n strictement positif par : u$_n$ = a$_n$ −0,8. Montrer que la suite (u$_n$) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
        • b.Donner l’expression de un en fonction de n, puis en déduire que pour tout nombre entier naturel n strictement positif, a$_n$ = 0,8−0,3×0,5$^{n+1}$ .
        • c.À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu’Alice atteigne la cible ?
        • d.Par quelle autre méthode aurait-on pu trouver le résultat précédent ?

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