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Le sujet

EXERCICE 2

Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes
Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d’eau à bonbonnes dans les entreprises d’une grande ville.
  • Partie A

    En 2013, l’entreprise U avait 45% du marché et l’entreprise V le reste. Chaque année, l’entreprise U conserve 90% de ses clients, les autres choisissent l’entreprise V. Quant à l’entreprise V, elle conserve 85% de ses clients, les autres choisissent l’entreprise U.
    On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel $n$ :

    $u$$_{n}$ la probabilité qu’il soit un client de l’entreprise U l’année 2013 + $n$, ainsi
    $u$$_{0}$ = 0,45 ;

    $v$$_{n}$ la probabilité qu’il soit un client de l’entreprise V l’année 2013 + $n$.
    • 1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V.
    • 2. Donner $v$$_{0}$, calculer $u$$_{1}$ et $v$$_{1}$·
    • 3. On considère l’algorithme (incomplet) donné en annexe. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de $u$$_{n}$ et $v$$_{n}$ pour un entier naturel $n$ saisi en entrée. Compléter les lignes (L5) et (L8) de l’algorithme pour obtenir le résultat attendu.
    • 4. On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$,$u$$_{n+1}$ = 0,75$u$$_{n}$ +0,15. On note, pour tout nombre entier naturel $n$,$w$$_{n}$ = $u$$_{n}$ −0,6.
      • a. Montrer que la suite ($w$$_{n}$) est une suite géométrique de raison 0,75.
      • b. Quelle est la limite de la suite ($w$$_{n}$) ? En déduire la limite de la suite ($u$$_{n}$). Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice.
  • Partie B

    L’entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :


    Le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle [0 ; 10] par :

    C($x$) = a$x$$^3$ +b$x$$^2$ +c$x$ +10 a,b et c sont des nombres réels.


    Lorsque le nombre $x$ désigne le nombre de milliers de recharges produites, C($x$) est le coût total de production en centaines d’euros.
    On admet que le triplet (a,b,c) est solution du système (S).
    • 1.
      • a. Écrire ce système sous la forme MX = Y où M et Y sont des matrices que l’on précisera.
      • b. On admet que la matrice M est inversible. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le triplet (a,b,c) solution du système (S).
    • 2. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8 000 recharges d’eau produites ?

      Annexe à l’exercice 2
      Recopier sur la copie la partie « traitement » (lignes L3 à L9) en complétant les lignes L5 et L8.

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