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Le sujet


Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur [0 ; 1] telle que $f$(0) = 0 et pour tout x ${\in}$ [0 ; 1] : ${f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.}$
On ne cherchera pas à déterminer $f$.
  • Partie A
    • 1. Déterminer le sens de variation de $f$ sur [0 ; 1] .
    • 2. Soit g la fonction définie sur ${\left[0;\frac{\pi }{4}\right]}$ par ${g(x)=f\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right).}$
      (La fonction ${\frac{\sin }{\cos }}$ est appelée tangente et notée tan ).
      • a. Justifier que est dérivable sur ${\left[0;\frac{\pi }{4}\right]}$ , puis que, pour tout x de ${\left[0;\frac{\pi }{4}\right]}$ , g'(x) = 1 .
      • b. Montrer que, pour tout x de ${\left[0;\frac{\pi }{4}\right]}$ , g(x) = x .
        En déduire que ${f(1)=\frac{\pi }{4}.}$
    • 3. Montrer que, pour tout x de [0 ; 1] , 0$\leqslant$f(x)$\leqslant$$\frac{\pi }{4}$.
  • Partie B
    Soit ($I_n$) la suite définie par ${I_{0}=\int _{0}^{1}f(x)\mathit{dx}}$ et, pour tout entier naturel n non nul : ${I_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}f(x)\mathit{dx}.}$
    • 1. Soit h la fonction définie sur [0 ; 1] par h(x) = x $f$(x) .
      Calculer pour tout x de [0 ; 1] , h' (x) .
      Montrer que ${I_{0}=h(1)-h(0)-\int _{0}^{1}{\frac{x}{1+x^{2}}}\mathit{dx}.}$
      En déduire que ${I_{0}=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\ln 2.}$
    • 2.
      • a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n , $I_n$ ${\geq}$ 0 .
      • b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n , ${I_{n}\leqslant\frac{\pi }{4(n+1)}.}$
      • c. En déduire la limite de la suite ($I_n$) .

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