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Le sujet


A tout entier naturel n non nul, on associe la fonction $f$n définie sur $\mathbb{R}$ par ${f_{n}(x)=\frac{4e^{\mathit{nx}}}{e^{\mathit{nx}}+7}.}$
On désigne par C$_n$ la courbe représentative de la fonction $f$n dans un repère orthonormal ${\left(O,\vec{i},\vec{j}\right).}$
Les courbes C$_1$, C$_2$ et C$_3$ sont données en annexe et figurent ci-dessous.
  • Partie A : Etude de la fonction $f$1 définie sur $\mathbb{R}$ par ${f_{1}(x)=\frac{4e^{x}}{e^{x}+7}}$
    • 1. Vérifier que pour tout réel x, ${f_{1}(x)=\frac{4}{1+7e^{-x}}.}$
    • 2.
      • a. Démontrer que la courbe C$_1$ admet deux asymptotes dont on précisera des équations.
      • b. Démontrer que la fonction $f$1 est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
      • c. Démonter que pour tout réel x, 0<$f$1(x)<4.
    • 3.
      • a. Démontrer que le point $I$1 de coordonnées ($\ell $n7; 2) est un centre de symétrie de la courbe C$_1$.
      • b. Déterminer une équation de la tangente (T$_1$) à la courbe C$_1$ au point $I$1 .
      • c. Tracer la droite (T$_1$) .
    • 4.
      • a. Déterminer une primitive de la fonction $f$1 sur $\mathbb{R}$.
      • b. Calculer la valeur moyenne de $f$1 sur l'intervalle [O; $\ell $n 7].
  • Partie B : Etude de certaines propriétés de la fonction $f$n .
    • 1. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul le point A ${\left(0;\frac{1}{2}\right)}$ appartient à la courbe C$_n$ .
    • 2.
      • a. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul la courbe C$_n$ et la droite d'équation y=2 ont un unique point d'intersection dont on précisera l'abscisse. On note $I$n ce point d'intersection.
      • b. Déterminer une équation de la tangente (T$_n$) à la courbe C$_n$ au point $I$n .
      • c. Tracer les droites (T$_2$) et (T$_3$).
    • 3. Soit la suite (u$_n$) définie pour tout entier naturel n non nul par ${u_{n}=\frac{n}{ln7}\int _{0}^{\frac{ln7}{n}}f_{n}(x)dx.}$ Montrer que la suite (u$_n$) est constante.

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