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Exercice

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Le sujet

  • Partie A. - Restitution organisée de connaissances
    On supposera connus les résultats suivants :
    Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a<b.
    ${\bullet}$ si u${\geq}$0 sur [a ; b] alors ${\int _{a}^{b}u(x)\mathit{dx}\mathit{\geqslant}0}$ .
    ${\bullet}$ Pour tous réels $\alpha $ et $\beta $ ${\int _{a}^{b}[\alpha u(x)+\beta v(x)]\mathit{dx}=\mathit{\alpha }\int _{a}^{b}u(x)\mathit{dx}+\beta \int _{a}^{b}v(x)\mathit{dx}}$ .
    Démontrer que si $f$ et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a<b et si, pour tout x de [a ; b], $f$(x) ${\leq}$ g(x) alors : ${\int _{a}^{b}f(x)\leqslant\int _{a}^{b}g(x)\mathit{dx}}$ .
  • Partie B
    On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : ${\mathit{f}(x)=e^{{-x}^{2}}}$ et on définit la suite (un) par: ${\left\{\ u_{0}=\int _{0}^{1}f(x)\mathit{dx}=\int _{0}^{1}{e^{-x^{2}}\mathit{dx}}\right.};$ pour tout entier naturel n non nul, ${\left.u_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}f(x)\mathit{dx}=\int _{0}^{1}x^{n}e^{-x^{2}}\mathit{dx}\ \right\}}$
    • 1.
      • a. Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1] : 1/e $\leqslant$ u$_{0}$ $\leqslant1$.
      • b. En déduire que : 1/e $\leqslant$ u$_{0}$ $\leqslant1$.
    • 2. Calculer u$_1$ .
    • 3. a Démontrer que pour tout entier naturel n, 0${\leq}$un .
      • b. Etudier les variations de la suite (u$_n$) . c. En déduire que la suite (u$_n$) est convergente.
    • 4.
      • a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, ${u_{n}\leqslant\frac{1}{n+1}}$ .
      • b. En déduire la limite de la suite (u$_n$)

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