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Le sujet


Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; + $\infty$[ par : $f$(x) = (x -1)(2 - e$^{-x}$).
Sa courbe représentative C est tracée dans le repère orthonormal (unité graphique 2 cm).
  • 1.
    • a. Etudier la limite de $f$ en +$\infty$.
    • b. Montrer que la droite $\Delta$ d'équation y = 2x - 2 est asymptote à C.
    • c. Etudier la position relative de C et $\Delta$.
  • 2.
    • a. Calculer $f$' (x) et montrer que: $f$'(x) = xe$^{-x}$+2(1 - e$^{-x}$).
    • b. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, $f$'(x)>0.
    • c. Préciser la valeur $f$'(0), puis établir le tableau de variation de $f$.
  • 3. A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire, exprimée en cm2,
    du domaine plan limité par la courbe C, la droite $\Delta$ et les droites d'équations x = 1 et x = 3.
  • 4.
    • a. Déterminer le point A de C où la tangente à C est parallèle à $\Delta$.
    • b. Calculer la distance, exprimée en cm, du point A à la droite $\Delta$ .

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