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Le sujet


On considère les suites (x$_n$) et (y$_n$) définies pour tout entier naturel n non nul par : ${x_{n}=\int _{0}^{1}t^{n}\cos t\mathit{dt}}$ et ${y_{n}=\int _{0}^{1}t^{n}\sin t\mathit{dt}}$ .
  • 1.
    • a. Montrer que la suite (x$_n$) est à termes positifs.
    • b. Etudier les variations de la suite (x$_n$) .
    • c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (x$_n$) ?
  • 2.
    • a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul : ${x_{n}\leqslant\frac{1}{n+1}}$.
    • b. En déduire la limite de la suite (x$_n$) .
  • 3.
    • a. A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n non nul :
      x$_{n+1}$ + 1 = - (n + 1)y$_n$ + sin (1) .
    • b. En déduire que ${\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim }y_{n}=0}$ .
  • 4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul : y$_{n+1}$+ 1 = (n + 1)x$_n$ - cos (1) .
    Déterminer ${\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim }\mathit{nx}_{n}}$ et ${\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim }\mathit{ny}_{n}}$ .

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