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Exercice

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Le sujet


Les courbes Cf et Cg données représentent respectivement, dans un repère orthonormal ${\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)}$ , les fonctions $f$ et g définies sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$] par : $f$(x) = ln x et g(x) = (ln x)$^2$ .
  • 1. On cherche à déterminer l'aire A (en unités d'aire) de la partie du plan hachurée. On note ${I=\int _{1}^{e}ln\ x\ \mathit{dx}}$ et ${J=\int _{1}^{e}(ln\ x\ )^2\ \mathit{dx}}$ .
    • a. Vérifier que la fonction F définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$] par F(x) = x ln x - x est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I .
    • b. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que J = e - 2 I .
    • c. En déduire J.
    • d. Donner la valeur de A.
  • 2. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche, même si elle n'aboutit pas.
    Pour x appartenant à l'intervalle [1 ; e], on note M le point de la courbe Cf d'abscisse x et N le point de la courbe Cg de même abscisse. Pour quelle valeur de x la distance MN est maximale ? Calculer la valeur maximale de MN.

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