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Exercice

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Le sujet

  • 1. Soit la $f$ fonction définie sur ] 1; + $\infty$ [ par ${f(x)=\frac{x}{e^{x}-1}}$ et soit H la fonction définie sur ] 1; + $\infty$ [ par ${H(x)=\int _{1}^{x}f(t)\mathit{dt}}$ .
    • a. Justifier que $f$ et H sont bien définies sur ] 1; + $\infty$ [ .
    • b. Quelle relation existe-t-il entre H et $f$ ?
    • c. Soit C la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal ${\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)}$ du plan. Interpréter en termes d'aire le nombre H(3).
  • 2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre H(3).
    • a. Montrer que pour tout réel ${x>0:\frac{x}{e^{x}-1}\ =\ x\times \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}}$ .
    • b. En déduire que : ${\int _{1}^{3}f(x)\mathit{dx}=3\ \ln \left(1-\frac{1}{e^{3}}\right)-\ln \left(1-\frac{1}{e}\right)-\int _{t}^{3}\ln (1-e^{-x})\mathit{dx}}$ .
    • c. Montrer que si 1 ${\leq}$ x ${\leq}$ 3, alors : ${\ln \left(1-\frac{1}{e}\right)\leqslant\ln (1-e^{-x})\leqslant\ln \left(1-\frac{1}{e^{3}}\right)}$ .
    • d. En déduire un encadrement de ${\int _{1}^{3}\ln \left(1-e^{-x}\right)\mathit{dx}}$ puis de ${\int _{1}^{3}\mathit{f}(x)\mathit{dx}}$ .

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