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Le sujet


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ${(O;\vec{u};\vec{v}).}$
On considère l'application $f$ du plan dans lui- même qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que : z' = z$^2$ .
On note $\Omega $ le point d'affixe 1 .
  • 1. Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points M du plan tels que $f$ (M ) = M .
  • 2. Soit A le point d'affixe a = $\sqrt2 - \sqrt2 i$ .
    • a. Exprimer a sous forme exponentielle .
    • b. En déduire les affixes des deux antécédents de A par $f$ .
  • 3. Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points M d'affixe z tels que l'affixe z' du point M' soit un nombre imaginaire pur .
  • 4. Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble $\Gamma_3$ des points M distincts de $\Omega $ pour lesquels le triangle
    $\Omega $MM' est rectangle isocèle direct en $\Omega $ .
    • a. En utilisant l'application du plan dans lui-même qui, au point M d'affixe z, associe le point M'' d'affixe z'' telle
      que ${z''-1=e^{\frac{i\pi }{2}}(z-1),}$ , montrer que M est un point de $\Gamma_3$ , si et seulement si : z$^2$ - iz - 1 + i = 0 et z ${\neq}$ 1 .
    • b. Montrer que z$^2$ - iz - 1 + i = (z - 1)(z + 1 - i) .
    • c. En déduire l'ensemble $\Gamma_3$ .
  • 5. Soit M un point d'affixe z différente de 0 et de 1 .
    • a. Exprimer ${(\overrightarrow{{\mathit{OM}}},\overrightarrow{{\mathit{OM}'}})}$ en fonction d'un argument de z .
    • b. En déduire l'ensemble $\Gamma_4$ des points M distincts de O et de $\Omega $ tels que O , M et M' soient alignés .

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