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Exercice

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Le sujet


D'après Amérique du Nord
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ${(O;\vec{u};\vec{v}).}$
On considère les points A et B d'affixes respectives a = i et b = 1 + i.
On note r$_A$ la transformation appelée rotation de centre A, d'angle ${\frac{\pi }{2},}$ , r$_B$ la transformation appelée rotation de centre B, d'angle ${\frac{\pi }{2}}$ et r$_0$ la transformation appelée rotation de centre O, d'angle ${-{\frac{\pi }{2}};}$ r$_A$ , r$_B$ et r$_0$ sont respectivement définies par : z' - i = e$^{i\pi/2}$ (z - i) , z' - (1 + i) = e$^{i\pi/2}$ (z - (1 + i)) , et z' = e$^{-i\pi/2}$ z .
( z étant l'affixe d'un point quelconque et z celle de son image ).
  • Partie A
    On considère le point C d'affixe c = 3i . On appelle D l'image de C par r$_A$ , G l'image de D par r$_B$ et H l'image de C
    par r$_0$ .
    On note d, g et h les affixes respectives des points D, G et H .
    • 1. Démontrer que d = - 2 + i .
    • 2. Déterminer g et h .
    • 3. Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle .
  • Partie B
    On considère un point M, distinct de O et de A , d'affixe m . On appelle N l'image de M par r$_A$ , P l'image de N par
    r$_B$ et Q l'image de M par r$_0$ .
    On note n, p et q les affixes respectives des points N, P et Q .
    • 1. Montrer que n = i m + 1+ i . On admettra que p = - m + 1 + i et q = - i m .
    • 2. Montrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
    • 3.
      • a. Montrer l'égalité ${\frac{m-n}{p-n}=i+\frac{1}{m}.}$
      • b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse, sera pri-
        se en compte dans l'évaluation.
        Déterminer l'ensemble ($\Gamma $) des points M tels que le quadrilatère MNPQ soit un rectangle.

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