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Le sujet

EXERCICE 3 (4 points)


$\textbf {Commun à tous les candidats}$

  • Partie A
    On appelle $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
    Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{u}, \vec{v})$ on a placé un point $M$ d'affixe $z$ appartenant à $\mathbb{C}$, puis le point R intersection du cercle de centre O passant par $M$ et du demi-axe $[O; \vec u]$.
    • 1. Exprimer l'affixe du point R en fonction de $z$.
    • 2. Soit le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = \frac{1}{2} \left(\frac{z + |z|}{2} \right)$.
      Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M'$.
  • Partie B
    On définit la suite de nombres complexes $(z_n)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\mathbb{C}$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence: $z_{n + 1} = \frac{z_n + |z_n|}{4} $.
    Le but de cette partie est d'étudier si le comportement à l'infini de la suite $(|z_n|)$ dépend du choix de $z_0$.
    • 1. Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $(|z_n|)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ?
    • 2. Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $(|z_n|)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ?
    • 3. On suppose désormais que $z_0$ n'est pas un nombre réel.
      • a. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite $(|z_n|)$ ?
      • b. Démontrer cette conjecture, puis conclure.

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