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Exercice

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Le sujet


D'après Asie
Dans le plan complexe, on considère les points A, B et C d'affixes respectives a = - 2 , b = 5 i et
c =4 , ainsi que
les carrés ABIJ , AKLC et BCMN , extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S , T et U . La figure est donnée


  • 1. On donne l'écriture complexe de la transformation appelée rotation r de centre A et d'angle ${\frac{\pi }{2}}$ :
    z' + 2 = e$^{i \pi/2}$ (z + 2) .
    En déduire que le point J a pour affixe : - 7+ 2 i .
    On admettra que l'affixe du point K est : - 2 - 6 i .
  • 2. Justifier que les droites ( BK ) et ( JC ) sont perpendiculaires et que les segments [BK] et [JC] ont la même
    longueur. Calculer cette longueur.
  • 3.
    • a. Calculer les affixes des points S et T .
    • b. On admet que l'affixe du point U est ${u=\frac{9}{2}(1+i).}$
      Démontrer que la droite ( AU ) est une hauteur du triangle STU .
  • 4. Déterminer une mesure de l'angle ${(\overrightarrow{{\mathit{JC}}},\overrightarrow{{\mathit{AU}}}).}$
    5 . On admet que les droites ( BK ) et ( JC ) se coupent au point V d'affixe : v = - 0, 752 + 0, 864 i .
    • a. Etablir que les points A , V et U sont alignés.
    • b.Que représente la droite ( AU ) pour l'angle ${\widehat {\mathit{BVC}}?}$

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