EXERCICE 4 (5 points)

• Partie A: propriétés du nombre j
  • 1.
    • a. Résoudre dans l'ensemble $\mathscr{C}$ des nombres complexes l'équation $z^2 + z + 1 = 0$.
    • b. Vérifier que le nombre complexe $j$ est une solution de cette équation.
  • 2. Déterminer le module et un argument du nombre complexe $j$, puis donner sa forme exponentielle.
  • 3. Démontrer les égalités suivantes:
    • a. $j^3 = 1$;
    • b. $j^2 = - 1 - j$.
  • 4. On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1, $j$ et $j^2$ dans le plan.
    Quelle est la mesure du triangle PQR ? Justifier la réponse.
    
    
• Partie B
  Soit $a, b, c$ trois nombres complexes vérifiant l'égalité $a + jb + j^2c = 0$.
  On note A, B, C les images respectives des nombres $a, b, c$ dans le plan.
  
  • 1. En utilisant la question A - 3. b., démontrer l'égalité: $a - c = j(c - b)$.
  • 2. En déduire que AC = BC.
  • 3. Démontrer l'égalité: $a - b = j^2(b - c)$.
  • 4. En déduire que le triangle ABC est équilatéral.