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Le sujet

EXERCICE 4 (5 points)


$\textbf {Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}$

Le plan est muni du repère orthonormé direct $\left(O, \vec u, \vec v \right)$.
On donne le nombre complexe $j = - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt3}{2}$.
Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre $j$ et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.
  • Partie A: propriétés du nombre j
    • 1.
      • a. Résoudre dans l'ensemble $\mathscr{C}$ des nombres complexes l'équation $z^2 + z + 1 = 0$.
      • b. Vérifier que le nombre complexe $j$ est une solution de cette équation.
    • 2. Déterminer le module et un argument du nombre complexe $j$, puis donner sa forme exponentielle.
    • 3. Démontrer les égalités suivantes:
      • a. $j^3 = 1$;
      • b. $j^2 = - 1 - j$.
    • 4. On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1, $j$ et $j^2$ dans le plan.
      Quelle est la mesure du triangle PQR ? Justifier la réponse.

  • Partie B
    Soit $a, b, c$ trois nombres complexes vérifiant l'égalité $a + jb + j^2c = 0$.
    On note A, B, C les images respectives des nombres $a, b, c$ dans le plan.
    • 1. En utilisant la question A - 3. b., démontrer l'égalité: $a - c = j(c - b)$.
    • 2. En déduire que AC = BC.
    • 3. Démontrer l'égalité: $a - b = j^2(b - c)$.
    • 4. En déduire que le triangle ABC est équilatéral.

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