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Exercice

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Le sujet

Exercice 2 (4 points)



Commun à tous les candidats

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par :

$\left\{ \begin{array}{l} z_{0} = 16 \\ z_{n+1} = \frac{1+i}{2} z_{n} \end{array} \right.$ , pour tout entier naturel n.

On note rn le module du nombre complexe z$_{n}$ : r$_{n}$ = |z$_{n}$|.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine O, on considère les points A$_{n}$ d’affixes z$_{n}$.
  • 1.
    • a) Calculer z$_{1}$, z$_{2}$ et z$_{3}$.
    • b) Placer les points A$_{1}$ et A$_{2}$ sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie.
    • c) Écrire le nombre complexe $\frac{1+i}{2}$ sous forme trigonométrique.
    • d) Démontrer que le triangle OA$_{0}$A$_{1}$ est isocèle rectangle en A$_{1}$.
  • 2. Démontrer que la suite (r$_{n}$) est géométrique, de raison $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
    La suite (r$_{n}$) est-elle convergente ?
    Interpréter géométriquement le résultat précédent.

    On note L$_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point A$_{0}$ au point A$_{n}$ en passant successivement par les points A$_{1}$, A$_{2}$, A$_{3}$, etc.

    Ainsi L$_{n}$ = $\sum_{i=0}^{n−1}$ A$_{i}$ A$_{i+1}$ = A$_{0}$A$_{1}$ + A$_{1}$A$_{2}$ +... + A$_{n−1}$A$_{n}$.
  • 3.
    • a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : A$_{n}$ A$_{n+1}$ = r$_{n+1}$.
    • b) Donner une expression de L$_{n}$ en fonction de $n$.
    • c) Déterminer la limite éventuelle de la suite (L$_{n}$).

      Annexe à rendre avec la copie




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