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Exercice

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Le sujet

Exercice 3 (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.

  • 1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue $z$ :
    ${z^2}-8z+64=0$


    Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}; \vec{v})$.

  • 2.

    On considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 4 + 4i\sqrt{3}$, $b = 4 - 4i\sqrt{3}$, $c = 8i$.
    • a. Calculer le module et un argument du nombre a.
    • b. Donner la forme exponentielle des nombres a et b.
    • c. Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle $C$ de centre O dont on déterminera le rayon.
    • d. Placer les points A, B et C dans le repère $(O; \vec{u}; \vec{v})$.

      Pour la suite de l'exercice, on pourra s’aider de la figure de la question 2.d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
  • 3. On considère les points A', B' et C' d'affixes respectives $a' = ae^{i \frac{\pi}{3}}$, $b' = be^{i \frac{\pi}{3}}$ et $c' = ce^{i \frac{\pi}{3}}$.
    • a. Montrer que $b' = 8$.
    • b. Calculer le module et un argument du nombre $a'$.

      Pour la suite on admet que $a' = -4 + 4 i\sqrt{3}$ et $c' = -4 \sqrt{3} + 4i$.
  • 4. On admet que si $M$ et $N$ sont deux points du plan d'affixes respectives $m$ et $n$ alors le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour affixe $\frac{m+n}{2}$ et la longueur $MN$ est égale à $|n - m|$.
    • a. On note $r$, $s$ et $t$ les affixes des milieux respectifs $R$, $S$ et $T$ des segments $[A' B]$, $[B' C]$ et $[C'A]$.
      Calculer $r$ et $s$. On admet que $t = 2 - 2\sqrt{3} + i (2 + 2\sqrt{3})$.
    • b. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle $RST$ ? Justifier ce résultat.

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