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Le sujet

EXERCICE 3 (5 points)


$\textbf {Candidats n'ayant pas suivi la spécialité}$

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère:
  • -- les points A(0; 1; - 1) et B(- 2; 2; - 1).
  • -- la droite $\mathscr{D}$ de représentation paramétrique
    $\left\{ \begin{array}{l} x = \; \; \; - 2 + t \\ y = \; \; \; \; 1 + t \\ z = \; \;- 1 - t \end{array} \right.$ , $\; \; \; t{\in}\mathbb{R}$.
  • 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
  • 2.
    • a. Montrer que les droites (AB) et $\mathscr{D}$ ne sont pas parallèles.
    • b. Montrer que les droites (AB) et $\mathscr{D}$ ne sont pas sécantes.
      Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel.
      On considère la point $M$ de la droite $\mathscr{D}$ de coordonnées (- 2 + $u$; 1 + $u$; - 1 - $u$).
  • 3. Vérifier que le plan $\mathscr{P}$ d'équation $x + y - z - 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathscr{D}$ et passe par le point $M$.
  • 4. Montrer que le plan $\mathscr{P}$ et la droite (AB) sont sécants en un point $N$ de coordonnées (- 4 + 6$u$; 3 - 3$u$; - 1).
  • 5.
    • a. Montrer que la droite ($MN$) est perpendiculaire à la droite $\mathscr{D}$.
    • b. Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite ($MN$) est perpendiculaire à la droite (AB) ?
  • 6.
    • a. Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
    • b. En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.

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