INSCRIS-TOI

Exercice

Notre service «Copy Numeric». Tu dois être inscrit pour y accéder !

Inscris-toi

M'envoyer cet Exo par mail
AutoNotation

Le sujet


On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct ${(O;\vec{u};\vec{v}).}$
  • 1. Un triangle
    • a. On considère les points A, B et C d'affixes respectives a = 2 , b = 3 + i$\sqrt3$ et c = 2i$\sqrt3$
      Déterminer une mesure de l'angle ${\widehat {\mathit{ABC}}.}$
    • b. En déduire que l'affixe $\omega $ du centre $\Omega$ du cercle circonscrit au triangle ABC est 1 + i$\sqrt3$ .
  • 2. Une transformation du plan
    On note (z$_n$) la suite de nombres complexes, de terme initial z$_0$ = 0 , et telle que : ${z_{n+1}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}z_{n}+2,}$ pour tout entier naturel n .
    Pour tout entier naturel n, on note A$_n$ le point d'affixe z$_n$ .
    • a. Montrer que les points A$_2$ , A$_3$ et A$_4$ ont pour affixes respectives : 3 + i$\sqrt3$ , 2 + 2i$\sqrt3$ et 2i$\sqrt3$ .
      On remarquera que A$_1$ = A , A$_2$ = B et A$_4$ = C .
    • b. Comparer les longueurs des segments [A$_1$ A$_2$] , [A$_2$ A$_3$] et [A$_3$ A$_4$] .
    • c. Etablir que pour tout entier naturel n , on a : ${z_{n+1}-\omega =\frac{1+i\sqrt{3}}{2}(z_{n}-\omega ),}$
      où $\omega $ désigne le nombre complexe défini à la question 1 .b .
    • d. Montrer que pour tout entier naturel n , ${z_{n+1}-\omega =e^{i\frac{\pi }{3}}(z_{n}-\omega ).}$
      En déduire une mesure de ${\widehat {{A_{n}\Omega A_{n+1}}}.}$ Comparer $\Omega$ A$_n$ et $\Omega$ A$_{n + 1}$ .
    • e. Justifier que, pour tout entier naturel n , A$_{n + 6}$ = A$_n$ . Déterminer l'affixe du point A$_{2012}$ .
  • 3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera
    prise en compte dans l'évaluation .
    Déterminer, pour tout entier naturel n , la longueur du segment [A$_n$ A$_{n + 1}$] .

Notre service «Copy Numeric». Tu dois être inscrit pour y accéder !

Inscris-toi

M'envoyer cet Exo par mail
AutoNotation