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Le sujet

EXERCICE 2 (4 points)


$\textbf {Commun à tous les candidats}$



Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec u, \vec v)$. A tout point $M$ d'affixe $z$ du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par: $$z' = z^2 + 4z + 3.$$
  • 1.Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé.
    Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
  • 2. Soit A le point d'affixe $\frac{- 3 - i\sqrt3}{2}$ et B le point d'affixe $\frac{- 3 -+i\sqrt3}{2}$
    Montrer que OAB est un triangle équilatéral.
  • 3. Déterminer l'ensemble $\varepsilon$ des point $M$ d'affixe $z = x + iy$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M'$ associé soit sur l'axe des réels.
  • 4. Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l'ensemble $\varepsilon$.

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