INSCRIS-TOI

Exercice

Notre service «Copy Numeric». Tu dois être inscrit pour y accéder !

Inscris-toi

M'envoyer cet Exo par mail
AutoNotation

Le sujet


Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct ${(O;\vec{u};\vec{v}).}$
On note i le nombre complexe tel que i$^2$ = - 1.
On considère le point A d'affixe Z$_A$ = 1 et le point B d'affixe Z$_B$ = i.
A tout point M d'affixe Z$_M$ = x + iy, avec x et y deux réels tels que y ${\neq}$ 0, on associe le point M' d'affixe Z$_M$' = - iZ$_M$ .
On désigne par I le milieu du segment [AM].
Le but de l'exercice est de montrer que, pour tout point M n'appartenant pas à (OA), la médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM' (propriété 1) et que BM' = 2 OI (propriété 2).
  • 1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend Z$_{M}=2e^{-i\frac{\pi }{3}}$.
    • a. Déterminer la forme algébrique de Z$_M$ .
    • b. Montrer que Z$_M$' = - $\sqrt{3}$ - i . Déterminer le module et un argument de ZM' .
    • c. Placer les points A, B, M, M' et I dans le repère ${(O;\vec{u},\vec{v})}$ en prenant 2 cm pour unité graphique.
      Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.
  • 2. On revient au cas général en prenant Z$_M$ = x + iy avec y ${\neq}$ 0.
    • a. Déterminer l'affixe du point I en fonction de x et y.
    • b. Déterminer l'affixe du point M' en fonction de x et y.
    • c. Ecrire les coordonnées des points I, B et M'.
    • d. Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM' .
    • e. Montrer que BM' = 2 OI .

Notre service «Copy Numeric». Tu dois être inscrit pour y accéder !

Inscris-toi

M'envoyer cet Exo par mail
AutoNotation