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Le sujet

EXERCICE 2 (5 points)


$\textbf {Commun à tous les candidats}$


$\textit{La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B}$
  • Partie A
    On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda>0$.
    On rappelle que, pour out réel $a$ strictement positif, $P(X \leqslant a) = \int ^a_0 \lambda e^{- \lambda t} dt$.
    On se propose de calculer l'espérance mathématique de $x$, notée $E(X)$, et définie par $E(X) = \lim \limits_{x \rightarrow + \infty} \int^x_0 \lambda te^{- \lambda t} dt$.
    On note $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels.
    On admet que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(t) = - \left ( t + \frac{1}{\lambda} \right) e^{-\lambda t}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = \lambda te^{-\lambda t}$.
    • 1. Soit $x$ un nombre réel strictement positif. Vérifier que \[ \int_0^x \lambda te^{-\lambda t} dt = \frac{1}{\lambda} \left(-\lambda xe^{-\lambda x} - e^{-\lambda x} + 1 \right) . \]
    • 2. En déduire que $E(X) = \frac{1}{\lambda}$.
  • Partie B
    La durée de vie, exprimée en années, d'un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.
    La courbe de la fonction densité associée est représentée en $\textbf{annexe 2}$
    • 1. Sur le graphique de l'annexe 2 (à rendre avec la copie):
      • a. Représenter la probabilité $P(X \leqslant 1)$.
      • b. Indiquer où se lit directement la valeur de $\lambda$.
    • 2. On suppose que $E(X) = 2$.
      • a. Que représente dans le cadre de l'exercice la valeur de l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$?
      • b. Calculer la valeur de $\lambda$.
      • c. Calculer $P(X \leqslant 2)$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0,01 près.
        Interpréter ce résultat.
      • d. Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d'au moins trois années? On donnera la valeur exacte.
  • Partie C
    Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2. On note $D_1$ l'évènement "le composant 1 est défaillant avant un an" et on note $D_2$ l'évènement "le composant 2 est défaillant avant un an".
    On suppose que les deux évènements $D_1$ et $D_2$ dont indépendants et que $P(D_1) = P(D_2)= 0,39$.
    Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous:
    • 1. Lorsque les deux composants sont montés "en parallèle", le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps.
      Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an.
    • 2. Lorsque les deux composants sont montés "en série", le circuit B est défaillant dès que l'un au moins des deux composants est défaillants. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an.

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