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Le sujet

EXERCICE 1 (4 points)


$\textbf {Commun à tous les candidats}$

$\textit{Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.}$
$\textit{Les parties A, B et C sont indépendantes.}$

Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont $\textit{premier prix}$, et les autres sont $\textit{haut de gamme}$. Un magasin de bricolage dispose d'un stock de cadenas provenant de ce fournisseur; ce stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type.

  • Partie A:
    • 1. Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas $\textit{haut de gamme}$, il n'y a pas plus de 3% de cadenas défectueux dans sa production. Le responsable du magasin de bricolage désire vérifier la validité de cette affirmation dans son stock; à cet effet, il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas $\textit{haut de gamme}$, et en trouve 19 qui sont défectueux.

      Ce contrôle remet-il en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3% de cadenas défectueux?
      On pourra pour cela utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.
    • 2. Le responsable du magasin souhaite estimer la proportion de cadenas défectueux dans son stock de cadenas $\textit{premier prix}$. Pour cela il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas $\textit{premier prix}$, parmi lesquels 39 se révèlent défectueux.

      Donner un intervalle de confiance de cette proportion au niveau de confiance 95%.

  • Partie B:
    D'après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre $X$ de cadenas $\textit{premier prix}$ vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne µ = 750 et d'écart-type $\delta$ = 25.

    • 1. Calculer $P(725 \leqslant X \leqslant 775)$.
    • 2. Le responsable du magasin veut connaître le nombre $n$ de cadenas $\textit{premier prix}$ qu'il doit avoir en stock en début de mois, pour que la probabilité d'être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05. $\textit{On ne réalimente pas le stock en cours de mois}$.

      Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n$ remplissant cette condition.

  • Partie C:
    On admet maintenant que, dans le magasin:
  • $\bullet$ 80% des cadenas proposés à la vente sont $\textit{premier prix}$, les autres $\textit{haut de gamme}$;
  • $\bullet$ 3% des cadenas $\textit{haut de gamme}$ sont défectueux;
  • $\bullet$ 7% des cadenas sont défectueux.
    On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note:
  • $\bullet\textit{p}$ la probabilité qu'un cadenas $\textit{premier prix}$ soit défectueux;
  • $\bullet\textit{H}$ l'évènement: "le cadenas prélevé est $\textit{haut de gamme}$";
  • $\bullet\textit{D}$ l'évènement: "le cadenas prélevé est défectueux"

    • 1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
    • 2. Exprimer en fonction de $p$ la probabilité $P(D)$. En déduire la valeur du réel $p$.
      Le résultat obtenu est-il cohérent avec celui de la question A - 2 ?
    • 3. Le cadenas prélevé est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un cadenas $\textit{haut de gamme}$.

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