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Exercice

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Le sujet


Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques.
Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes.
  • Partie A
    La durée de vie d'une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda $ = 0,000 2.
    • 1. Quelle est la durée de vie moyenne d'une vanne ?
    • 2. Calculer la probabilité, à 0,001 près, que la durée de vie d'une vanne soit supérieure à 6 000 heures.
  • Partie B
    Avec trois vannes identiques V$_1$, V$_2$, V$_3$, on fabrique le circuit hydraulique ci-dessous.
    Le circuit est en état de marche si V$_1$ est en état de marche ou si V$_2$ et V$_3$ le sont simultanément.
    On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n'est pas en état de marche après 6 000 heures. On note :
    F1 l'événement "la vanne V1 est en état de marche après 6 000 heures" ;
    F2 l'événement "la vanne V2 est en état de marche après 6 000 heures" ;
    F3 l'événement "la vanne V3 est en état de marche après 6 000 heures" ;
    E l'événement "le circuit est en état de marche après 6 000 heures" .
    On admet que les événements F$_1$, F$_2$, F$_3$ sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité égale à 0,3.
    • 1. L'arbre probabiliste ci-dessous représente une partie de la situation.
      Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches.
    • 2. Démontrer que P(E) = 0,363.
    • 3. Sachant que le circuit est en état de marche après 6 000 heures, calculer la probabilité que la vanne V$_1$ soit en état de marche à ce moment-là. Arrondir au millième.
  • Partie C
    L'industriel affirme que seulement 2% des vannes qu'il fabrique sont défectueuses. On suppose que cette affirmation est vraie, et l'on note F la variable aléatoire égale à la fréquence de vannes défectueuses dans un échantillon aléatoire de 400 vannes prises dans la production totale.
    • 1. Déterminer l'intervalle I de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable F.
    • 2. On choisit 400 vannes au hasard dans la production. On assimile ce choix à un tirage aléatoire de 400 vannes, avec remise, dans la production. Parmi ces 400 vannes, 10 sont défectueuses.
      Au vu de ce résultat, peut-on remettre en cause, au seuil de 95% l'affirmation de l'industriel ?
  • Partie D
    Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième.
    L'industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients. La demande mensuelle est une variable aléatoire D qui suit la loi normale d'espérance m = 800 et d'écart-type $\sigma $ = 40.
    • 1. Déterminer P(760 ${\leq}$ D ${\leq}$ 840).
    • 2. Déterminer P(D ${\leq}$ 880).
    • 3. L'industriel pense que s'il constitue un stock mensuel de 880 vannes, il n'aura pas plus de 1% de chance d'être en rupture de stock. A-t-il raison ?

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