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Le sujet

EXERCICE 1 – 6 points

Le service marketing d’un magasin de téléphonie a procédé à une étude du comportement de sa clientèle. Il a ainsi observé que celle-ci est composée de 42% de femmes. 35% des femmes qui entrent dans le magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de 55% pour les hommes.
Une personne entre dans le magasin. On note :
$\rhd$ $F$ l'événement : "La personne est une femme";
$\rhd$ $R$ l'événement : "La personne repart sans rien acheter";

Pour tout événement A, on note $\bar{A}$ son événement contraire et $p(A)$ sa probabilité.

Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.
Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.
  • Partie A
    • 1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    • 2. Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu’elle reparte sans rien acheter.
    • 3. Montrer que $p(R) = 0,534$.
  • Partie B

    Un client du magasin s’inquiète de la durée de vie du téléphone de type $T_{1}$ qu’il vient de s’offrir.
    On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque téléphone mobile de type $T_{1}$ prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie, en mois.
    On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu = 48$ et d’écarttype $\sigma = 10$.
    • 1. Justifier que la probabilité que le téléphone de type $T_{1}$ prélevé fonctionne plus de 3 ans, c’est-à-dire 36 mois, est d’environ 0,885.
    • 2. On sait que le téléphone de type $T_{1}$ prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu’il fonctionne moins de 5 ans ?
  • Partie C

    Le gérant du magasin émet l’hypothèse que 30% des personnes venant au magasin achètent uniquement des accessoires (housse, chargeur…).
    Afin de vérifier son hypothèse, le service marketing complète son étude.
    • 1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille 1 500.
    • 2. Le service marketing interroge un échantillon de 1 500 personnes. L’étude indique que 430 personnes ont acheté uniquement des accessoires. Doit-on rejeter au seuil de 5% l’hypothèse formulée par le gérant ?

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