Commun à tous les candidats
Les résultats des probabilités seront arrondis à10$^{-3}$ près.
Partie A
1.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif donné.
On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction $f$ définie sur [0; +$\infty$] par $f$=$\lambda$e$^{-\lambda x}$
a. Soit c et d deux réels tels que 0$\leq$cDémontrer que la probabilité P(c$\leq$X$\leq$d) vérifie P(c$\leq$X$\leq$d)=e$^{-\lambda c}$-e$^{-\lambda d}$.
b. Déterminer une valeur de $\lambda$ à 10$^{-3}$ près de telle sorte que la probabilité P (X > 20) soit égale à 0,05.
2. Soit Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 16 et d'écart type 1,95.
a. Calculer la probabilité de l'événement P(20$\leq$Y$\leq$21).
b. Calculer la probabilité de l'événement (Y<11) U (Y>21).
Partie B
Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients
privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir
, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.
Les bons d’achat verts prennent
la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.
De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent
les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010
ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.
1. Calculer la probabilité
d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge.
2.
Montrer qu’une valeur approchée à10$^{-3}$ près
de la probabilité
d'avoir un bon d'achat d’une valeur
supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057.
3.
Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale
à 30 €.
Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons
d’achats
dans les différents magasins de la chaîne.
a. Il s'agit d'utiliser, par définition de la loi exponentielle
$P(0 \leqslant X \leqslant t) = \int\limits_{0}^t \lambda e^{-\lambda x} dx = [-e^{- \lambda x}]_{0}^t = -e^{-\lambda t } + 1$.
On a : $P(c \leqslant X \leqslant d) = P(0 \leqslant X \leqslant d) - P(0 \leqslant X \leqslant c) = [-e^{- \lambda d } + 1] - [-e^{- \lambda c } + 1] = e^{- \lambda c } - e^{- \lambda d}$
(où $\lambda$ est le paramètre défini dans l'énoncé).
b. Avec $P(X \geqslant 20) = 1 - P (0 \leqslant X \leqslant 20) = 1 - [-e^{- \lambda * 20 } + 1]$ (d'après A.1.a) $= e^{-20 \lambda}$, on a:
$P(X \geqslant 20) = 0,05$ équivaut à: $e^{-20 \lambda} = 0,05$ soit $-20 \lambda = ln 0,05$
donc $\lambda = \frac {ln 0,05}{-20} \simeq 0,150$ à $10^{-3}$ près.
c. L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est alors: $E(X) = \frac {1}{\lambda}$ (cours) $= \frac {1}{0,150} \simeq 6,667$ à 0,001 près.
d. D'après A.1.a, $P(10 \leqslant X \leqslant 20) = e^{-10(0,15)} - e^{-20 (0,15)} = 0,173$ à 0,001 près.
e. Comme en A.1.b, on a: $P(X>18) = e^{-18(0,15)} = 0,067$ à 0,001 près.
2.
a. On a: $P (20 \leqslant Y \leqslant 21) = P(\frac {20 - 16}{1,95} \leqslant \frac {Y - 16}{1,95} \leqslant \frac {21 - 16}{1,95}) \simeq 0,015$ à 0,001 près.
1. D'après l'énoncé, où $R$ est "Rouge", on a:
$P(A \geqslant 30) = 0,015 + 0,010 = 0,025$ ($A$ désigne la variable aléatoire bon d'achat).
2. Il s'agit d'appliquer la formule de Probabilités totales:
$P(A \geqslant 30) = P(A \geqslant 30 \text{et} R) + P(A \geqslant 30 \text{et} V) = 0,025 (0,25) + 0,067 (0,75) = 0,057$.
3. Il s'agit de former l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%; on a:
$I = [0,057 - 1,96 \sqrt {\frac {0,057 ( 1 - 0,057)}{200}} ; 0,057 + 1,96 \sqrt {\frac {0,057(1 - 0,057)}{200}}] \simeq [0,0248 ; 0,0890]$; comme $\frac {6}{200} = 0,03$ est dans $I$, alors à 95% de chances la répartition est convenable.
Remarque: La formation de $I$ est légitime avec des conditions du cours:
$n \simeq 200 \geqslant 30 , np = 200 (0,057) > 5$ et $n(1 - p) > 5$.
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