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Exercice

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Le sujet

EXERCICE 1 (6 points)



Commun à tous les candidats
Les résultats des probabilités seront arrondis à10$^{-3}$ près.
  • Partie A
    • 1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif donné.

      On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction $f$ définie sur [0; +$\infty$] par $f$=$\lambda$e$^{-\lambda x}$
      • a. Soit c et d deux réels tels que 0$\leq$cDémontrer que la probabilité P(c$\leq$X$\leq$d) vérifie P(c$\leq$X$\leq$d)=e$^{-\lambda c}$-e$^{-\lambda d}$.

      • b. Déterminer une valeur de $\lambda$ à 10$^{-3}$ près de telle sorte que la probabilité P (X > 20) soit égale à 0,05.

      • c. Donner l’espérance de la variable aléatoire X

        $Dans$ $la$ $suite$ $de$ $l'exercice$ $on$ $prend$ $\lambda$=0,15.

      • d. Calculer P(10$\leq$X$\leq$20).

      • e. Calculer la probabilité de l'événement (X>18).
    • 2. Soit Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 16 et d'écart type 1,95.
      • a. Calculer la probabilité de l'événement P(20$\leq$Y$\leq$21).
      • b. Calculer la probabilité de l'événement (Y<11) U (Y>21).
  • Partie B

    Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.

    Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir , dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

    Les bons d’achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.

    De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.

    • 1. Calculer la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge.

    • 2. Montrer qu’une valeur approchée à10$^{-3}$ près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057.

      $Pour$ $la$ $question$ $suivante$, $on$ $utilise$ $cette$ $valeur.$
    • 3. Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 €.

      Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d’achats dans les différents magasins de la chaîne.

      Ses doutes sont-ils justifiés ?

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