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Le sujet

EXERCICE 4 (5 points)


$\textbf {Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}$

En prévision d'une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs.

Parmi les 1200 personnes qui ont répondu au sondage, 47% affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.

Compte-tenu du profil des candidats, l'institut de sondage estime que 10% des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20% des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.

On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note:
$\bullet$ A l'évènement " La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A";
$\bullet$ B l'évènement "La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B";
$\bullet$ V l'évènement "La personne interrogée dit la vérité".

  • 1. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.
  • 2.
    • a. Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.
    • b. Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu'elle affirme vouloir voter pour un candidat A.
  • 3. Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.
  • 4. L'institut de sondage publie alors les résultats suivants:
    Au seuil de confiance de 95%, le candidat A peut-il croire en sa victoire?
  • 5. Pour effectuer ce sondage, l'institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications par demi-heure. La probabilité qu'une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est 0,4.
    L'institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1200 réponses.
    Quel temps moyen, exprimé en heures, l'institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif?

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