Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment
Partie A Etude de la durée de vie d'un appareil électroménager Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ de moyenne $\mu = 84$ et d'écart-type $\sigma$. De plus, on a $P(X\leqslant$64) = 0,16.
La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $X$ est donnée ci-dessous.
1.
a.
En exploitant le graphique, déterminer $ P(64\leqslant X \leq 104)$.
b.
Quelle valeur approchée entière de $\sigma$ peut-on proposer?
2.
On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \frac{X - 84}{\sigma}$.
a.
Quelle est la loi de probabilité suivie par $Z$ ?
b.
Justifier que $P(X\leqslant64) = P\left(Z\leqslant\frac{-20}{\sigma} \right)$.
c.
En déduire la valeur de $\sigma$, arrondie à $10^{-3}$.
3.
Dans cette question, on considère que $\sigma - 20,1$
Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.
a.
Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans.
<\li>
b.
Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.
Partie B Etude de l'extension de garantie d'El'Ectro Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.
L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires.
Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l'extension de garantie montrent que 11,5% d'entre eux font jouer l'extension de garantie.
1.
On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l'extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).
a.
Quelle est la probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à $10^{-3}$.
b.
Quelle est la probabilité qu'au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie? Arrondir à $10^{-3}$.
2.
L'offre d'extension de garantie est la suivante: pour 65 euros supplémentaires, El'Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable.
On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie, et on note $Y$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce clienet par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie.
a.
Justifier que $Y$ prend les valeurs 65 et -334 puis donner la loi de probabilité de $Y$.
b.
Cette offre d'extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l'entreprise? Justifier.
a.
La moyenne de la loi normale étant 84 et les propriétés de symétrie de la courbe en cloche de Gauss, permettent de déduire que P(X $\geq$ 84 + 20) = 0,16. Donc P (64 $\leq$ X $\leq$ 104) = 1 - 2(0,16) = 0,68.
b.
Ce qui correspond à P ($\mu - \sigma \leq$ X $\leq \mu + \sigma$) = 0,68; donc $\sigma$ = 20.
2.
a. C'est du cours: si X suit la loi $\mathscr{N}$ ($\mu, \sigma^2$) alors $\frac{X - 84}{\sigma}$ suit le loi $\mathscr{N}$ (0; 1) normale centrée réduite.
b. On a successivement:
P(X $\leq$ 64) = 0,16 $\Leftrightarrow$ P$(\frac{X - 64}{\sigma} \leq \frac{64 - 84}{\sigma})$ = 0,16 $\Leftrightarrow$ P(Z $\leq \frac {- 20}{\sigma}$) = 0,16 , et l'égalité demandée en résulte.
c. D'où on déduit, avec les valeurs numériques de la loi $\mathscr{N}$ (0;1): $\frac{-20}{\sigma} \approx$ - 0,9945 soit $\sigma \approx \frac{20}{0,9945}$ ou encore $\sigma \approx$ 20,111 à $10^{-3}$ près.
3.
a.
X est la v. a. caractérisant une durée de vie en mois, il s'agit d'évaluer P(24 $\leq$ X $\leq$60); avec la calculatrice on trouve 0,115.
b. De même, on a P(X $\geq$ 120) = 0,5 - P (84 $\leq$ X $\leq$ 120) $\approx$ 0,037.
(le principe est une différence d'aires situées sous la cloche).
Partie B
1. Comprenons l'énoncé: parmi n = 12 clients optant pour une extension de garantie il y a p = 11,5% d'entre-eux qui en font utilisation.
On demande la probabilité que k = 3 fasse utilisation. Si B est la v.a. caractérisant le nombre de clients faisant utilisation de l'extension de garantie, alors B suit la loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0,115. D'où:
a. on veut P(B = 3) = $ \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \end{pmatrix} 0,115^3 (1 - 0,115)^9 \approx 0,111 à 10^3$ près.
b. et aussi, P( B $\geq$ 6) = 1 - P(B $\leq$5) $\approx$ 0,001 au millimètre près.
2.
a. Les gains algébriques sont: 65 - 399 = - 334 (cas d'utilisation de l'extension), ou + 65 (cas contraire), de probabilités respectives 0,115 et 1 - 0,115 = 0,885.
b.
Il suffit de calculer l'espérance mathématiques de Y, soit:
E(Y) = (-334) 0,115 + (65) 0,885 = 19,115 $\approx$ 19,12€:
l'offre est avantageuse à l'entreprise puisque celle-ci gagne environ 20€ par client avec cette offre.
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