$\textbf{Pour Probabilités 25%}$ (pourcentage calculé sur l'ensemble des exercices de tous les centres d'examen du baccalauréat en 2014)
Commun à tous les candidats, Pondichéry 2014
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.
Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
Question 1
Dans un hypermarché, 75 % des clients sont des femmes. Une femme sur cinq achète
un article au rayon bricolage, alors que sept hommes sur dix le font.
Une personne, choisie au hasard, a fait un achat au rayon bricolage. La probabilité
que cette personne soit une femme a pour valeur arrondie au millième :
a. 0,750
b. 0,150
c. 0,462
d. 0,700
Question 2
Dans cet hypermarché, un modèle d’ordinateur est en promotion. Une étude statistique a permis d’établir que, chaque fois qu’un client s’intéresse à ce modèle, la
probabilité qu’il l’achète est égale à 0,3. On considère un échantillon aléatoire de dix
clients qui se sont intéressés à ce modèle.
La probabilité qu’exactement trois d’entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle a pour valeur arrondie au millième :
a. 0,900
b. 0,092
c. 0,002
d. 0,267
Question 3
Cet hypermarché vend des téléviseurs dont la durée de vie, exprimée en année, peut
être modélisée par une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. La durée de vie moyenne d’un téléviseur est de huit ans, ce qui se traduit
par : λ = $\frac{1}{8}$
.
La probabilité qu’un téléviseur pris au hasard fonctionne encore au bout de six ans
a pour valeur arrondie au millième :
a. 0,750
b. 0,250
c. 0,472
d. 0,528
Question 4
Cet hypermarché vend des baguettes de pain dont la masse, exprimée en gramme,
est une variable aléatoire réelle qui suit une loi normale de moyenne 200 g.
La probabilité que la masse d’une baguette soit comprise entre 184 g et 216 g est
égale à 0,954.
La probabilité qu’une baguette prise au hasard ait une masse inférieure à 192 g a
pour valeur arrondie au centième :
a. 0,16
b. 0,32
c. 0,84
d. 0,48
Question 5 Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.
La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail
fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif.
On sait que P(X$\leqslant2$)=0,15.
a. $\lambda$= 0,051.
b. $\lambda$= 0,061
c. $\lambda$= 0,081
d. $\lambda$= 0,091
EXERCICE 2 (4 points)
$\textbf{Pour Fonctions Exponentielle et Logarithme 20%}$ (pourcentage calculé sur l'ensemble des exercices de tous les centres d'examen du baccalauréat en 2014)
Commun à tous les candidats, Métropole 2012
Le plan est muni d'un repère orthonormé
${(O;\vec{i};\vec{j}).}$
On considère une fonction $f$ dérivable sur
l'intervalle [- 3 ; 2] . On dispose des informations
suivantes :
$f$(0) = - 1 .
la dérivée $f$'
de la fonction $f$ admet la courbe
représentative C' ci- dessous .
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est $\textbf{vraie}$ ou $\textbf{fausse}$ et justifier la réponse .
1. Pour tout réel x de l'intervalle [- 3
; - 1] , $f$'(x) ${\leq}$ 0 , $\textbf{vraie}$ ou $\textbf{fausse}$?
2. La fonction $f$ est croissante sur
l'intervalle [- 1 ; 2] , $\textbf{vraie}$ ou $\textbf{fausse}$?
3. Pour tout réel x de l'intervalle [- 3 ;
2] , $f$(x) ${\geq}$ - 1 , $\textbf{vraie}$ ou $\textbf{fausse}$?
4. Soit C la courbe représentative de la fonction
$f$ , $\textbf{vraie}$ ou $\textbf{fausse}$?
La tangente à la courbe C au point
d'abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1 ;
0) .
EXERCICE 3 (4 points)
$\textbf{Pour Géométrie Analytique 20%}$ (pourcentage calculé sur l'ensemble des exercices de tous les centres d'examen du baccalauréat en 2014)
Commun à tous les candidats, Antilles-Guyane 2014
Pour chacune des quatre $\textbf{Propositions}$ suivantes, indiquer si elle est $\textbf{vraie}$ ou $\textbf{fausse}$ en justifiant, si possible, la réponse.
L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
On considère les points A(1 ; 2 ; 5), B(−1 ; 6 ; 4), C(7 ; −10 ; 8) et D(−1 ; 3 ; 4).
1. Les points A, B et C définissent un plan, $\textbf{vraie}$ ou $\textbf{fausse}$?
2. On admet que les points A, B et D définissent un plan.
Une équation cartésienne du plan (ABD) est $x$ −2$z$ +9 = 0, $\textbf{vraie}$ ou $\textbf{fausse}$?
3. Une représentation paramétrique de la droite (AC) est
$\left\{
\begin{array}{l}
x = \frac{3}{2} t −5 \\
y = −3t +14\\
z = −\frac{3}{2} t +2
\end{array}
\right.$
$t \in \mathbb{R}$,
$\textbf{vraie}$ ou $\textbf{fausse}$?
4.
Soit $P$ le plan d’équation cartésienne 2$x$ − $y$ + 5$z$ + 7 = 0 et $P$ ′
le plan d’équation
cartésienne −3$x$ − $y$ + $z$ +5 = 0.
Les plans $P$ et $P$ ′
sont parallèles, $\textbf{vraie}$ ou $\textbf{fausse}$?
EXERCICE 4 (4 points)
$\textbf{Pour Suites Numériques, Suites et Fonctions 20%}$ (pourcentage calculé sur l'ensemble des exercices de tous les centres d'examen du baccalauréat en 2014)
Commun à tous les candidats, Pondichéry 2014
Pour chacune des quatre $\textbf{Propositions}$ suivantes, indiquer si elle est $\textbf{vraie}$ ou $\textbf{fausse}$ en justifiant, si possible, la réponse.
1.
$\textbf{Proposition}$: Toute suite positive croissante tend vers +$\infty$.
2.
$g$ est la fonction définie sur $]-\frac{1}{2}; +\infty[$
par $g(x)=2xln(2x+1)$.
$\textbf{Proposition}$:
Sur $]-\frac{1}{2}; +\infty[$, l'équation $g(x)=2x$ a une unique solution: $\frac{e-1}{2}$.
3. $\textbf{Proposition}$: Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $\frac{1}{2}$ est:
$1 + ln4$.
4. L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec i; \vec j; \vec k)$.
$P$ et $R$ sont les plans d'équations respectives: 2x + 3y - z - 11 = 0 et x + y + 5z - 11 = 0.
$\textbf{Proposition}$
Les plans $P$ et $R$ se coupent perpendiculairement.
EXERCICE 5 (2 points)
$\textbf{Pour Nombres Complexes 10%}$ (pourcentage calculé sur l'ensemble des exercices de tous les centres d'examen du baccalauréat en 2014)
Commun à tous les candidats, Métropole 2011
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.
Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
On désigne par A , B , C et D les points d'affixes
respectives z$_A$ =1 , z$_B$ = i,
z$_C$ = - 1, z$_D$ = - i .
Question 1 a. ${z_{E}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}(1+i),}$
b. ${z_{E}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}(1-i),}$
c. ${z_{E}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}(1-i),}$
d. ${z_{E}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}(1+i),}$
Question 2 L'ensemble des points d'affixe z telle que + i = - 1 est :
a. La médiatrice du segment [BC] ,
b. Le milieu du segment [BC] ,
c. Le cercle de centre O et de rayon 1 ,
d. La médiatrice du segment [AD] ,
EXERCICE 6 (1 point)
$\textbf{Pour Intégrales 5%}$ (pourcentage calculé sur l'ensemble des exercices de tous les centres d'examen du baccalauréat en 2014)
Commun à tous les candidats, Asie 2007
Indiquer si la $\textbf{Propositions}$ suivante est $\textbf{vraie}$ ou $\textbf{fausse}$ en justifiant, si possible, la réponse.
1. $\textbf{Proposition}$ : Si $f$ est la fonction définie
pour tout nombre réel x par: $f$(x) =
sin$^2$ x, alors sa fonction dérivée vérifie, pour
tout nombre réel x,
$f$'(x) =
sin$^2$ x
$\textbf{Propositions}$ $\textbf{vraie}$ ou $\textbf{fausse?}$
1.
$\textbf{réponse c}$
Il s'agit de calculer la probabilité a posteriori, par la formule de Bayes:
$P_B(F) = \frac{P(B \cap F)}{P(B)}$ (la probabilité a priori $P_F(B)$ étant connue, égale à $\frac{1}{5}$).
Pour cela, il nous faut P(B) = P(B$\cap$F) + P(B$\cap$H):(formule des probabilités totales),
$P(B) = 0,75(\frac{1}{5}) + 0,25 (\frac{7}{10})$ = 0,15 + 0,175 = 0,325 .
D'où $P_B(F) = (\frac{0,15}{0,325})\approx 0,462$.
(F signifie Femmes; B signifie Bricolage)
2.
$\textbf{réponse d}$
Il s'agit de mettre en oeuvre la loi binomiale, de paramètres n = 10 et p = 0,3 (probabilité d'1 succès);
il nous faut P(X = 3) = $(\frac{10}{3}).0,3^3 . (1 - 0,3)^{10 - 3} = 120(0,027)(0,823 543)\approx 0,267$.
3.
$\textbf{réponse c}$
Il s'agit de calculer, par la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \frac{1}{8}$,
$P(X\geq b) = 1 - \int^6_0 \frac{1}{8} e^{{-\frac{1}{8}}t}dt = 1 - [-e^{{-\frac{1}{8}}t}]^6_0
= e^{{-\frac{1}{8}}(6)} \approx 0,472$.
4.
$\textbf{réponse b}$
* Il faut observer que, conformément au programme et selon une pratique courante,l'intervalle donné
[184; 216] correspond à l'intervalle
[$\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma$] de probabilité 0,954, lorsque le phénomène étudié X
(ici masse des baguettes) suit une loi $\mathscr{N}(\mu ; \sigma^2)$ .
Avec $\mu$ = 200, on a donc P(184 $\leq X \leq$ 216) = 0,954; soit P(200 - 16 $\leq X \leq$ 200 + 16) = 0,954.
C'est donc que P(200 - 2$\sigma \leq X \leq200 + 2\sigma)$ = 0,954; d'où 2$\sigma$ = 16 et $\sigma$ = 8.
* A présent, pour répondre à la question, il est permis de considérer que la probabilité d'intervalles tels que
(X$\geq$a), (X$\leq$b), ($a\leq X \leq$b)
pour une loi de probabilité continue, de densité de probabilité (ddp)$f$,
est $\underline {l'aire}$ de la partie du plan située sous la courbe de $f$, dans l'intervalle considéré
(calcul intégral); horizontalement: valeurs prises par X; verticalement valeurs prises par la ddp$f$.
Donc, les calculs peuvent être facilités par observations et interprétations graphiques qui permettent des
écritures mathématiques commodes.
Ainsi, dans le cas de la loi $\mathscr{N}(\mu ; \sigma^2)$ la courbe de $f$ est symétrique par rapport à la
droite ($X=\mu$), et l'aire située sous cette courbe avant($X=\mu$) valant 0,5 (car l'aire totale sous la courbe est 1),
on peut faire: P(X$\leq$192)= 0,5 - P(192$\leq$X$\leq$200) $\approx$ 0,16.
5.
$\textbf{réponse c}$
Rappel: Si X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda > 0$), alors (avec b>a) on a: $P(a \leqslant X \leqslant b)=\int_a^{b} \lambda e^{-\lambda t} dt=[-e^{- \lambda t}]_a^b=e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$.
Il s'agit ici de calculer $\lambda$ tel que: $P(0 \leqslant X \leqslant 2)=0,15$, soit:
$e^0 - e^{-\lambda . 2}=0,15 \Leftrightarrow 0,85=e^{-2\lambda} \Leftrightarrow ln 0,85 = -2 \lambda \Leftrightarrow \lambda= \frac{-ln 0,85}{2} \approx 0,081$
Exercice 2 (4 points)
$\textbf{Pour Fonctions Exponentielle et Logarithme 20%}$
1.
Sur [ - 3 ; 1] , $\underline {C'\ est\ en\ dessous\ de\ l'axe\ des\ abscisses~~}$ , donc $f'(x) {\leq}$ 0 sur [ - 3 ; 1].
$\textbf{L'affirmation est donc vraie.}$
2.
Sur [ - 1 ; 2] , $\underline{C'\ est\ au\ dessus\ de\ l'axe\ des\ abscisses~~}$ , donc $f'(x) {\geq}$ 0 sur [ -1 ;2] .
$\textbf{L'affirmation est donc vraie.}$
3.
Comme $f'(x)$ > 0 sur ] - 1 ; 0] , alors $f$ est strictement croissante sur ] - 1 ; 0] ;
on peut donc écrire : $\underline {- 1 < x < 0\ entraîne\ f(x) < f(0) = - 1}$ (par hypothèse).
Puisqu'il existe x dans ] - 1 ; 0[ tel que $f(x)$ < - 1,
$\textbf{L'affirmation est donc fausse.}$
4.
$\underline{Il\ s'agit\ de\ former\ une\ équation\ de\ la\ tangente\ à\ C}$ au point d'abscisse 0 .
Avec $f$'(0) = 1 (voir la courbe de $f$' ) et
$f$(0) = - 1 ( par hypothèse), une équation est y - $f$(0) = $f$'(0) ( x - 0 ),
soit y = 1( x - 0 ) + ( - 1) ou encore : y = x - 1 .
A présent, le point ( 1 ; 0 ) est sur la tangente puisque
$\underline{ ses\ coordonnées\ vérifient\ 0 = 1 - 1}$ .
$\textbf{L'affirmation est donc vraie.}$
Exercice 3 (4 points)
$\textbf{Pour Géométrie Analytique 20%}$
1.
Il suffit d'examiner la colinéarité éventuelle de vecteurs tels que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
On a: $\vec{AB}$(- 2; 4; - 1) et $\vec{AC}$(6;- 12; 3); alors $\frac{6}{-2}=\frac{-12}{4}=\frac{3}{-1} = 3 et
\vec{AC}= - 3 \vec{AB}$ .
Ainsi, $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires (donc A, B et C sont alignés):
A, B et C ne définissent pas un plan.
$\textbf{La proposition est fausse.}$
2.
Il suffit de vérifier que les coordonnées des points donnés réalisent l'équation $x - 2z + 9 = 0$ : $\textbf{La proposition est vraie.}$
3.
Un vecteur directeur $\vec{d}$ de la droite donnée n'est pas colinéaire à $\vec{AC}$;
en effet $\vec{d}(\frac{3}{2}; - 3; \frac{-3}{2})$ (coefficient de t dans les équations) et $\vec{AC}$(6; -12; 3) sont tels que: $\frac{3/2}{6} = \frac{1}{4} \neq \frac{-3/2}{3} = \frac{-1}{2}$.
$\textbf{La proposition est fausse.}$
4.
Il suffit d'examiner des vecteurs normaux respectifs des 2 plans.
Avec des notations utilisées évidentes, de tels vecteurs sont: $\vec{p}$ (2; - 1; 5) et $\vec{p'}$(-3; - 1; 1).
Ils sont tels que $\frac{2}{- 3} \neq \frac{- 1}{- 1}$ et ne sont dons pas colinéaires.
$\textbf{La proposition est fausse.}$
Exercice 4 (4 points)
$\textbf{Pour Suites Numériques, Suites et Fonctions 20%}$
1.
$\textbf{Proposition est fausse}$ pour contredire il suffit de la prendre (la suite) de plus majorée; alors on est assuré qu'elle sera convergente (toute suite croissante majorée est convergente), et ne pourra plus tendre vers +$\infty$.
Par exemple($u_n$) définie par $u_n=\frac{n-1}{n} , n > 0$.
2.
$\textbf{Proposition est fausse}$
puisque visiblement sur ]$-\frac{1}{2}; +\infty$[ contenant 0, 0 est solution de l'équation $2x ln(2x+1)=0$ , et aussi de $g(x) = 2x = 0$;
3.
$\textbf{Proposition est vraie}$ Il s'agit de comparer $1+ln4$ à $g'(\frac{1}{2})$:
avec $g'(x)=2ln(2x+1)) + \frac{2}{2x+1} (2x)$, on a $g'(\frac{1}{2}))=2ln(2) + 1 = ln (2^2) +1 = 1+ln4$.
4.
$\textbf{Proposition est vraie}$ Il s'agit d'examiner 2 vecteurs normaux de chacun des plans respectivement:
$P$ a pour vecteur normal $\vec{n} (2; 3; -1)$ et $Q$ a pour vecteur normal $\vec{n'}(1; 1; 5)$. Leur produit scalaire étant $2(1) + 3(1) - 1(5)=0$, ces vecteurs sont orthogonaux; donc les plans se coupent perpendiculairement.
Exercice 5 (2 points)
$\textbf{Pour Nombres Complexes 10%}$
1.
$\textbf{réponse b}$
La rotation étant définie par
$z'-1=\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(z-1),$
l'image de D est le point E tel que
$z_{E}-1=\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(-i-1)=\left(\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+i\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right);$
d'où
$z_{E}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-i\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right),$
ou bien $z_{E}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}(1-i).$
2.
$\textbf{réponse c}$
L'ensemble des points M(z) tels que
|z - a| = |z - b| est la
médiatrice de [ AB ], où A et B sont d'affixes
respectives a et b
Ici, avec A(1) et D(- i ) , l'ensemble des points
M(z) tels que |z -(- i)| = |z - 1|
est la médiatrice de [ AD ] .
Exercice 6 (1 point)
$\textbf{Pour Intégrales 5%}$
1. $\textbf{Proposition est fausse}$; comme contre-exemple, en x = $\frac{\pi
}{2}$ on a sin$^2$ $\left(\frac{\pi
}{2}\right)$ = 1. Or l'étude de la
dérivabilité de $f$ en $\frac{\pi
}{2}$ mène à: $\underset{x\rightarrow \pi /2}{\lim
}{\frac{f(x)-f(\pi
/2)}{x-\pi /2}}$ $\text{=}\underset{x\rightarrow \pi /2}{\lim
}{\frac{\sin ^{2}x-1}{x-\pi /2}}$ $\text{=}\underset{x\rightarrow
\pi /2}{\lim }{\frac{(\sin x-1)}{x-\pi /2}}$ (sin x + 1)
= $\left(\cos \frac{\pi }{2}\right)(1+1)=0$ (car
x $\rightarrow$ sin x est dérivable en $\frac{\pi }{2}$
de nombre dérivé cos $\frac{\pi }{2}$ = 0);
donc $\underset{x\rightarrow \pi /2}{\lim
}{\frac{f(x)-f(\pi
/2)}{x-\pi /2}}\neq 1.$
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