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Le sujet

EXERCICE 2 (5 points)


$\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}$

On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel $n$, on définit les points $(A_n)$ par leurs coordonnées $(x_n; y_n)$ de la façon suivante:
$\left\lbrace \begin{array}{l} x_0& = &-3 \\ y_0& = &~ 4 \\ \end{array} \right.$ et pour tout entier naturel $n:\left\lbrace \begin{array}{l} x_{n+1}& = & 0,8x_n - 0,6y_n \\ y_{n+1}& = & 0,6x_n + 0,8y_n \\ \end{array} \right.$
  • 1.
    • a. Déterminer les coordonnées des points $A_0, A_1$ et $A_2$.
    • b. Pour construire les points $A_n$ ainsi obtenus, on écrit l'algorithme suivant:
    • Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points $A_0$ et $A_{20}$.
    • c. A l'aide d'un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant:

      Identifier les points $A_0, A_1$ et $A_2$. On les nommera sur la figure jointe en $\textbf{annexe 2, (à rendre avec la copie)}$.
      Quel semble être l'ensemble auquel appartiennent les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel?
  • 2. Le but de cette question est de construire géométriquement les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel.
  • Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel $n, z_n = x_n + iy_n$ l'affixe du point $A_n$.
    • a. Soit $u_n = |z_n|$. Montrer que, pour tout entier naturel $n, u_n = 5$. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat?
    • b. On admet qu'il existe un réel $\theta$ tel que $cos(\theta)=0,8$ et $sin(\theta) = 0,6$.
    • Montrer que, pour tout entier naturel $n, e^{i{\theta}} z_n = z_{n+1}$.
    • c. Démontrer que, pour tout entier naturel $n, z_n = e^{in\theta}z_0$.
    • d. Montrer que $\theta + \frac{\pi}{2}$ est un argument du nombre complexe $z_0$.
    • e. Pour tout entier naturel $n$, déterminer, en fonction de $n$ et $\theta$, un argument du nombre complexe $z_n$.
    • Représenter $\theta$ sur la figure jointe en $\textbf{annexe 2, (à rendre avec la copie)}$.
    • Expliquer, pour tout entier naturel $n$, comment construire le point $A_{n+1}$ à partir du point ${A_n}$.

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