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Le sujet

EXERCICE 4 (5 points)


$\textbf {Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}$

  • Partie A
    On considère l'algorithme suivant:
    Faire fonctionner cet algorithme pour $p = 2$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
    Quel nombre obtient-on en sortie?
  • Partie B
    Soit $(u_n)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ par $u_{n + 1} = 0,5u_n + 0,5n - 1,5$.
    • 1. Modifier l'algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$ pour $n$ variant de 1 à $p$.
    • 2. A l'aide de l'algorithme modifié, après avoir saisi $p = 4$, on obtient les résultats suivants:
      Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite $(u_n)$ est décroissante?
      Justifier.
    • 3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n + 1}>u_n$.
      Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite $(u_n)$?
    • 4. Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5$.
      Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,5 et exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.
    • 5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 10$ x $0,5^n + n - 5$.
    • 6. Déterminer alors la limite de la suite $(u_n)$.

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