INSCRIS-TOI

Exercice

Notre service «Copy Numeric». Tu dois être inscrit pour y accéder !

Inscris-toi

M'envoyer cet Exo par mail
AutoNotation

Le sujet

EXERCICE 2 (6 points)


$\textbf {Commun à tous les candidats}$



On définit la suite $(u_n)$ de la façon suivante:
pour tout entier naturel $n, u_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x} dx$.

  • 1. Calculer $u_0 = \int_0^1 \frac{1}{1 + x} dx$.
  • 2.
    • a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n, u_{n + 1} + u_n = \frac{1}{n + 1}.$
    • b. En déduire la valeur exacte de $u_1$.
  • 3.
    • a. Recopier et compléterl'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme de rang $n$ de la suite $(u_n)$ où $n$ est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur.
    • b. A l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant:
      Quelles conjectures concernant le comportement de la suite $(u_n)$ peut-on émettre?
  • 4.
    • a. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
    • b. Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
  • 5. On appelle $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Démontrer que $\ell = 0$.

Notre service «Copy Numeric». Tu dois être inscrit pour y accéder !

Inscris-toi

M'envoyer cet Exo par mail
AutoNotation