Exercice 4 (5 points)
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Un volume constant de 2 200 m$^3$ d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant
d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
$\bullet$ au départ, le bassin A contient 800 m$^3$ d’eau et le bassin B contient 1 400 m$^3$ d’eau ;
$\bullet$ tous les jours, 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est
transféré vers le bassin A ;
$\bullet$ tous les jours, 10 % du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est
transféré vers le bassin B.
Pour tout entier naturel $n$, on note :
$\bullet$ a$_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$
, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de
fonctionnement ;
$\bullet$ b$_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$
, contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de
fonctionnement.
On a donc a$_{0}$ = 800 et b$_{0}$ = 1400.
- 1. Par quelle relation entre a$_{n}$ et b$_{n}$ traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
- 2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, a$_{n+1}$ =
$\frac{3}{4}$ a$_{n}$ +330.
- 3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle
a$_{n}$ est supérieur ou égal à 1 100.
Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
- 4. Pour tout entier naturel $n$, on note u$_{n}$ = a$_{n}$ −1320.
- a. Montrer que la suite (u$_{n}$) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme
et la raison.
- b. Exprimer u$_{n}$ en fonction de $n$.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, a$_{n}$ = 1320−520× $(\frac{3}{4})^n$ .
- 5. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près,
le même volume d’eau.
Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.