Exercice 4 (5 points)

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un volume constant de 2 200 m$^3$ d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes.

On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

$\bullet$ au départ, le bassin A contient 800 m$^3$ d’eau et le bassin B contient 1 400 m$^3$ d’eau ;

$\bullet$ tous les jours, 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;

$\bullet$ tous les jours, 10 % du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

$\bullet$ a$_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$ , contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ;

$\bullet$ b$_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$ , contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.

On a donc a$_{0}$ = 800 et b$_{0}$ = 1400.

• 1. Par quelle relation entre a$_{n}$ et b$_{n}$ traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
• 2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, a$_{n+1}$ = $\frac{3}{4}$ a$_{n}$ +330.
• 3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle a$_{n}$ est supérieur ou égal à 1 100.
  Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
  
• 4. Pour tout entier naturel $n$, on note u$_{n}$ = a$_{n}$ −1320.
  • a. Montrer que la suite (u$_{n}$) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  • b. Exprimer u$_{n}$ en fonction de $n$.
    
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, a$_{n}$ = 1320−520× $(\frac{3}{4})^n$ .
• 5. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d’eau.
  Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.

h3>Corrigé

• 1. Un volume constant de 2200$m^3$ réparti entre A et B se traduit par:
  $a_n + b_n $ = 2200, pour tout n $\in$ $\mathbb{N}$
• 2. Le volume $a_{n+1}$ est constitué de $a_n$ augmenté de 15% de $b_n$ et diminué de 10% de $a_n$, donc $a_{n+1} = a_n + 0,15 b_n - 0,1 a_n = a_n + 0,15 (2200 - a_n) - 0,1a_n$
  = $ 0,75 a_n + 330 = \frac{3}{4}a_n + 330$ .
• 3. L'algorithme recopié est complété à la ligne "Affecter à a la valeur $\frac{3}{4}$ a + 330", et à la ligne "Affecter à n la valeur n+1".
• 4.
  • a. $\underline {Il\ s'agit \ de \ déterminer \ un \ réel \ q \ tel \ que}\ u_{n + 1} = q u_n$ . Pour tout n $\in$ $\mathbb{N}$, $u_{n + 1} = a_{n + 1} - 1320 = \frac{3}{4}a_n + 330 - 1320 ( d'après 2 ) = \frac{3}{4}a_n - 990 = \frac{3}{4}(a_n - 1320) = \frac{3}{4}u_n$ .
    Donc $(u_n)$ est géométrique de raison q = $\frac{3}{4}$ et de 1er terme $u_0 = a_0 - 1320 = - 520$ .
  • b.
    * On déduit: $u_n = u_0 q^n = - 520 (\frac{3}{4})^n$ , puis avec $u_n = a_n$ -1320 :
    * $a_n = u_n + 1320 = 1320 - 520 (\frac{3}{4})^n$ .
• 5.
  * $\underline {Il\ s'agit \ de \ résoudre \ en \ n \ l'équation}$: $\underline {a_n = \frac{2200}{2}} = 1100 (alors \ b_n = 1100)$;
  soit, 1320 - 520 $(\frac{3}{4})^n = 1100 \Leftrightarrow 520 (\frac{3}{4})^n = 220 \Leftrightarrow (\frac{3}{4})^n = (\frac{11}{26})\Leftrightarrow n ln (\frac{3}{4})= ln (\frac{11}{26}) \Leftrightarrow n = (\frac{ln (\frac{11}{26})}{ln (\frac{3}{4})}) \approx 2,99$.
  Au 3ème jour, les bassins ont des volumes très proches.
  * Mais, avec $a_3 = 1100,625$ et $b_3 = 1099,375$ on a $a_3 - b_3 = 1,25>1$:
  au mètre cube près, on ne peut dire que les bassins ont le même volume d'eau.