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Exercice

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Le sujet

Exercice 4 (5 points)



Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un volume constant de 2 200 m$^3$ d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes.

On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

$\bullet$ au départ, le bassin A contient 800 m$^3$ d’eau et le bassin B contient 1 400 m$^3$ d’eau ;

$\bullet$ tous les jours, 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;

$\bullet$ tous les jours, 10 % du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

$\bullet$ a$_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$ , contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ;

$\bullet$ b$_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$ , contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.

On a donc a$_{0}$ = 800 et b$_{0}$ = 1400.
  • 1. Par quelle relation entre a$_{n}$ et b$_{n}$ traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
  • 2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, a$_{n+1}$ = $\frac{3}{4}$ a$_{n}$ +330.
  • 3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle a$_{n}$ est supérieur ou égal à 1 100.
    Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
  • 4. Pour tout entier naturel $n$, on note u$_{n}$ = a$_{n}$ −1320.
    • a. Montrer que la suite (u$_{n}$) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    • b. Exprimer u$_{n}$ en fonction de $n$.

      En déduire que, pour tout entier naturel $n$, a$_{n}$ = 1320−520× $(\frac{3}{4})^n$ .
  • 5. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d’eau.
    Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.

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