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Exercice

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Le sujet


L'objet de cet exercice est l'étude de la suite (u$_n$) définie par son premier terme ${u_{1}=\frac{3}{2}}$ et la relation de récurrence : ${u_{n+1}=\frac{\mathit{nu}_{n}+1}{2(n+1)}.}$
  • Partie A Algorithme et conjectures
    Pour calculer et afficher le terme u$_9$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-dessous. Il a oublié de compléter deux lignes.
    • 1. Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
    • 2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de u$_2$ jusqu'à u$_9$ ?
    • 3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième :
      Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (u$_n$).
  • Partie B Etude mathématique
    On définit une suite auxiliaire (v$_n$) pour tout entier n ${\geq}$ 1, par : v$_n$ = nu$_n$ - 1 .
    • 1. Montrer que la suite (v$_n$) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
    • 2. En déduire que, pour tout entier naturel n ${\geq}$ 1, on a : ${u_{n}=\frac{1+(0,5)^{n}}{n}.}$
    • 3. Déterminer la limite de la suite (u$_n$).
    • 4. Justifier que, pour tout entier n ${\geq}$ 1, on a : ${u_{n+1}-u_{n}=\ -\ \frac{1+(1+0,5n)(0,5)^{n}}{n(n+1)}.}$
      En déduire le sens de variation de la suite (u$_n$).
  • Partie C Retour à l'algorithme
    En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier n tel que u$_n$ < 0,001 .

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