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Exercice

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Le sujet

EXERCICE 2 (5 points)



Commun à tous les candidats
  • Partie A
    Soit $(u_n)$ la suite définie par son premier terme $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation \[u_{n+1} = au_n + b\] ($a$ et $b$ réels non nuls tels que $a\neq 1)$.
    On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - \frac{b}{1-a}.$
    • 1. Démontrer que, la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
    • 2. En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle ]-1; 1[, alors la suite $(u_n)$ a pour limite $\frac{b}{1-a}.$
  • Partie B
    En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30cm au cours des douze mois suivants.
    Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.
    • 1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille?
    • 2. Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année$ (2015 + n)$.
      • a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $h_{n+1} = 0,75h_n + 30.$
      • b. Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variation de la suite $(h_n)$.
        Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
      • c. La suite $(h_n)$ est-elle convergente? Justifier la réponse.

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