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Le sujet

EXERCICE 5 (5 points)


$\textbf {Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}$



Soit $(v_n)$ la suite définie par
$v_1 = ln$(2) et, pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_{n + 1} = ln(2 - e^{- vn})$.
On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$ non nul.
On définit ensuite la suite ($S_n$) pour tout entier naturel $n$ non nul par: $$S_n = \sum^n_{k=1} v_k = v_1 + v_2 + ... + v_n.$$
Le but de cet exercice est de déterminer la limite de ($S_n$).
  • Partie A - Conjectures à l'aide d'un algorithme
    • 1. Recopier et compléter l'algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de $S_n$ pour une valeur de $n$ choisie par l'utilisateur:
    • 2. A l'aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de $S_n$. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous:
      En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite ($S_n$).
  • Partie B - Etude d'une suite auxiliaire
    Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la suite ($u_n$) par $u_n = e^{v_n}$.
    • 1. Vérifier que $u_1$ = 2 et que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 2 - \frac{1}{u_n}$.
    • 2. Calculer $u_2, u_3$ et $u_4$. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.
    • 3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \frac{n + 1}{n}$.
  • Partie C - Etude de ($\textit{Sn}$)
    • 1. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$.
    • 2. Vérifier que $S_3 = ln$ (4).
    • 3. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $S_n$ en fonction de $n$? En déduire la limite de la suite ($S_n$).

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